主要违法事实：李金凯在杭州市西湖区***街道内实施违反《杭州市居住房屋出租安全管理若干规定》的违法行为。2023年6月1日，公安机关复查发现李某某逾期拒不改正。
行政处罚的种类和依据：根据《杭州市居住房屋出租安全管理若干规定》第十三条、第二十六条之规定，决定给予李金凯罚款一千元的行政处罚。
行政处罚的执行方式和期限：自收到本决定书之日起十五日内，凭本决定书到建设银行缴纳罚款，逾期不缴纳罚款的，每日按罚款数额的百分之三加处罚款，加处罚款的数额不超过罚款本数。