主要违法事实：2023年4月至5月期间，违法行为人张鑫港伙同微信群内网友张某、张某、张某等人通过手机软件“老友十三水”以“十三道”的方式进行赌博，单局输赢几十元至八百元人民币不等，后被公安机关查获。综上所述，张鑫港的行为已构成赌博且属情节严重。
行政处罚的种类和依据：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第七十条之规定，决定给予张鑫港行政拘留十日并处罚款六百元的行政处罚。
行政处罚的执行方式和期限：自收到本决定书之日起十五日内，凭本决定书到浙江磐安农村商业银行股份有限公司恒业支行缴纳罚款，逾期不缴纳罚款的，每日按罚款数额的百分之三加处罚款，加处罚款的数额不超过罚款本数；行政拘留送磐安县拘留所执行。